宜昌市中考數學試題解析(4)

時間：2024-09-12 09:41:12 學人智庫

宜昌市中考數學試題解析(4)

　　∵四邊形ABCD是菱形，

宜昌市中考數學試題解析(4)

　　∴AB∥CD，AC⊥BD，

　　∴∠AEB=90°.

　　又∵∠FDE=90°，

　　∴∠AEB=∠FDE，

　　∴AC∥DF，

　　∴四邊形FACD是平行四邊形;

　　(3)①連接GE，如圖.

　　∵四邊形ABCD是菱形，∴點E為AC中點.

　　∵G為線段DC的中點，∴GE∥DA，

　　∴∠FHI=∠FGE.

　　∵EF是⊙O的直徑，∴∠FGE=90°，

　　∴∠FHI=90°.

　　∵∠DEC=∠AEB=90°，G為線段DC的中點，

　　∴DG= GE，

　　∴ = ，

　　∴∠1=∠2.

　　∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，

　　∴∠3=∠4，

　　∴FD=FI;

　　②∵AC∥DF，∴∠3=∠6.

　　∵∠4=∠5，∠3=∠4，

　　∴∠5=∠6，∴EI=EA.

　　∵四邊形ABCD是菱形，四邊形FACD是平行四邊形，

　　∴DE= BD=n，AE= AC=m，FD=AC=2m，

　　∴EF=FI+IE=FD+AE=3m.

　　在Rt△EDF中，根據勾股定理可得：

　　n2+(2m)2=(3m)2，

　　即n= m，

　　∴S⊙O=π( )2= πm2，S菱形ABCD= 2m2n=2mn=2 m2，

　　∴S⊙O：S菱形ABCD= .

　　點評：本題主要考查了菱形的性質、圓周角定理、平行四邊形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形中位線定理、等角的余角相等、等角對等邊、平行線的性質、勾股定理、圓及菱形的面積公式等知識，綜合性強，證到IE=EA，進而得到EF=3m是解決第3(2)小題的關鍵.

　　24.(12分)(2015宜昌)如圖1，B(2m，0)，C(3m，0)是平面直角坐標系中兩點，其中m為常數，且m>0，E(0，n)為y軸上一動點，以BC為邊在x軸上方作矩形ABCD，使AB=2BC，畫射線OA，把△ADC繞點C逆時針旋轉90°得△A′D′C′，連接ED′，拋物線y=ax2+bx+n(a≠0)過E，A′兩點.

　　(1)填空：∠AOB=　45　°，用m表示點A′的坐標：A′(　m　，　﹣m　);

　　(2)當拋物線的頂點為A′，拋物線與線段AB交于點P，且 = 時，△D′OE與△ABC是否相似?說明理由;

　　(3)若E與原點O重合，拋物線與射線OA的另一個交點為點M，過M作MN⊥y軸，垂足為N：

　　①求a，b，m滿足的關系式;

　　②當m為定值，拋物線與四邊形ABCD有公共點，線段MN的最大值為10，請你探究a的取值范圍.

　　考點：二次函數綜合題..

　　專題：綜合題.

　　分析： (1)由B與C的坐標求出OB與OC的長，根據OC﹣OB表示出BC的長，由題意AB=2BC，表示出AB，得到AB=OB，即三角形AOB為等腰直角三角形，即可求出所求角的度數;由旋轉的性質得：OD′=D′A′=m，即可確定出A′坐標;

　　(2)△D′OE∽△ABC，理由如下：根據題意表示出A與B的坐標，由 = ，表示出P坐標，由拋物線的頂點為A′，表示出拋物線解析式，把點E坐標代入整理得到m與n的關系式，利用兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似即可得證;

　　(3)①當E與原點重合時，把A與E坐標代入y=ax2+bx+c，整理即可得到a，b，m的關系式;

　　②拋物線與四邊形ABCD有公共點，可得出拋物線過點C時的開口最大，過點A時的開口最小，分兩種情況考慮：若拋物線過點C(3m，0)，此時MN的最大值為10，求出此時a的值;若拋物線過點A(2m，2m)，求出此時a的值，即可確定出拋物線與四邊形ABCD有公共點時a的范圍.

　　解答：解：(1)∵B(2m，0)，C(3m，0)，