不等式證明

不等式證明

　　不等式，是指在初等與高等數學中常用于計算與證明問題的不等式。以下是小編為大家收集的不等式證明，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。

　　不等式證明

　　不等式是數學的基本內容之一，它是研究許多數學分支的重要工具，在數學中有重要的地位，也是高中數學的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數學基礎知識的掌握程度，而且是衡量學生數學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

　　一、不等式的初等證明方法

　　1.綜合法：由因導果。

　　2.分析法：執果索因?；静襟E：要證..只需證..，只需證..

　　(1)“分析法”證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件。

　　(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。

　　3.反證法：正難則反。

　　4.放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的。放縮法的方法有：

　　(1)添加或舍去一些項，如：

　　2)利用基本不等式，如：

　　(3)將分子或分母放大(或縮小)：

　　5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

　　化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。

　　6.構造法：通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式。

　　證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數學歸納法仍是證明不等式的最基本方法。

　　7.數學歸納法：數學歸納法證明不等式在數學歸納法中專門研究。

　　8.幾何法：用數形結合來研究問題是數學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構造相關幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。

　　9.函數法：引入一個適當的函數，利用函數的性質達到證明不等式的目的。

　　10.判別式法：利用二次函數的判別式的特點來證明一些不等式的方法。當 a>0時，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當 a<0時，f(x)>0(或< 0).△>0(或< 0)。

　　二、部分方法的例題

　　1.換元法

　　換元法是數學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結構，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

　　注意：在不等式的證明中運用換元法，能把高次變為低次，分式變為整式，無理式變為有理式，能簡化證明過程。尤其對含有若干個變元的齊次輪換式或輪換對稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內容的實質，可收到事半功倍之效。

　　2.放縮法

　　欲證 A≥B，可將 B適當放大，即 B1≥B，只需證明 A≥B1。相反，將 A適當縮小，即 A≥A1，只需證明 A1≥B即可。

　　注意：用放縮法證明數列不等式，關鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當的數學思維能力和一定的解題智慧。

　　3.幾何法

　　數形結合來研究問題是數學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構造相關幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。

　　擴展資料：

　　證明幾種不等式的方法及常用的一些不等式，該文中的方法既包含了初等數學的方法也包含了高等數學的方法，且每個方法都對應一個題目，方便大家來理解并應用它們，但本文不再去證明一些不等式，直接去利用它們的結論。

　　一、不等式的一些性質

　　這一塊相對是很簡單的，所以就不再過多贅述（例如乘法單調性、相加法則等等）

　　二、比較法

　　比較法是直接作出所求不等式兩邊的差（或商）然后推演結論的辦法。

　　三、綜合法

　　綜合法是“由因導果”，從一直條件出發，依據不等式性質、函數性質或熟知的基本不等式，逐步推導出要證明的不等式。

　　四、分析法

　　分析法是“執果索因”從所求證得結論出發，步步推求使之不能成立的充分條件（或充要條件）直至歸結到已知條件或已知結論為止。

　　五、反證法

　　先假設要證明的結論不對，由此經過合理的邏輯推導得出矛盾，從而否定假設，導出結論的正確性。

　　六、換元法

　　換元法是根據不等式的結構特征，選取適當的變量代換，從而使其不等式化繁為簡。

　　七、構造法

　　通過構造函數、圖形、方程、數列、向量等來證明不等式

　　八、數學歸納法

　　該方法在此把內容呈現給大家就行了，具體題目就不在此呈現了。數學歸納法有四種（第一類數學歸納法、第二類數學歸納法、跳躍數學歸納法、反向數學歸納法）這里幾乎用的都是第一類。

　　九、放縮法

　　放縮法又稱傳遞法，它是根據不等式的傳遞性，將所求證得不等式的一邊適當地放大或縮小，是不等關系變得明朗化，從而證得不等式成立。

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