正弦定理證明方法

時間：2023-04-29 18:24:55 證明范文

正弦定理證明方法

方法1:用三角形外接圓

正弦定理證明方法

證明：任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O于D. 連接DA.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

方法2: 用直角三角形

證明：在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

在直角三角形中,在鈍角三角形中(略)。

方法3：用向量

證明：記向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c ∴a+b+c=0 則i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 ∴a/sinA =c/sinC (b與i垂直,i·b=0)

方法4：用三角形面積公式

證明：在△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CD⊥AB垂足為點D，作BE⊥AC垂足為點E，則CD=a·sinB，BE= c sinA,由三角形面積公式得：AB·CD=AC·BE

即c·a·sinB= b·c sinA ∴a/sinA=b/sinB 同理可得b/sinB=c/sinC

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

SINc^2=1-COSc^2

SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

得證

正弦定理：三角形ABC中 BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC

證明如下：在三角形的外接圓里證明會比較方便

例如，用BC邊和經過B的直徑BD，構成的直角三角形DBC可以得到：

2RsinD=BC (R為三角形外接圓半徑)

角A=角D

得到：2RsinA=BC

同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB

這樣就得到正弦定理了

一種是用三角證asinB=bsinA

用面積證

用幾何法，畫三角形的外接圓

聽說能用向量證，咋么證呢?

三角形ABC為銳角三角形時，過A作單位向量j垂直于向量AB，則j 與向量AB夾角為90，j與向量BC夾角為(90-B),j與向量CA夾角為(90+A),設AB=c,BC=a,AC=b,

因為AB+BC+CA=0

即j*AB+J*BC+J*CA=0

|j||AB|cos90+|j||BC|cos(90-B)+|j||CA|cos(90+A)=0

所以asinB=bsinA

用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

SINc^2=1-COSc^2

SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

得證用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2 COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab SINc^2=1-COSc^2 SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2 同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2 得證

滿意答案好評率：100%

正弦定理

步驟1.

在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到 a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC

步驟2.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O于D.

連接DA.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 類似可證其余兩個等式。

余弦定理

平面向量證法：

∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個鄰邊之間的對角線代表兩個鄰邊大小)

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

(以上粗體字符表示向量)

又∵Cos(π-θ)=-CosC

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意：這里用到了三角函數公式)

再拆開，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

同理可證其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。

平面幾何證法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a

則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根據勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=sinB·c+a^2+cosB·c^2-2ac*cosB

b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

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