中考數學圓知識點總結

時間：2024-07-30 21:54:53 學人智庫

中考數學圓知識點總結

　　銳角三角形的外心在三角形的內部，直角三角形的外心在斜邊上，鈍角三角形的外心在三角形的外部.下面是小編整理的相關內容，歡迎大家閱讀參考！

中考數學圓知識點總結

　　中考數學圓知識點總結(一)

　　圓的定義：

　　圓是一種幾何圖形。當一條線段繞著它的一個端點在平面內旋轉一周時，它的另一個端點的軌跡叫做圓。

　　在一個個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。

　　相關定義:

　　1 在同一平面內，到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。這個定點叫做圓的圓心。圖形一周的長度，就是圓的周長。

　　2 連接圓心和圓上的任意一點的線段叫做半徑，字母表示為r。

　　3 通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑，字母表示為d。直徑所在的直線是圓的對稱軸。

　　4 連接圓上任意兩點的線段叫做弦。最長的弦是直徑,直徑是過圓心的弦。

　　5 圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優弧，優弧是用三個字母表示。小于半圓的弧稱為劣弧，劣弧用兩個字母表示。半圓既不是優弧，也不是劣弧。優弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。

　　6 由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。

　　7 由弦和它所對的一段弧圍成的圖形叫做弓形。

　　8 頂點在圓心上的角叫做圓心角。

　　9 頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。

　　10 圓周長度與圓的直徑長度的比值叫做圓周率。它是一個無限不循環小數，通常用π表示，π=3.14159265……在實際應用中，一般取π≈3.14。

　　11圓周角等于相同弧所對的圓心角的一半。

　　12 圓是一個正n邊形(n為無限大的正整數)，邊長無限接近0但不等于0。

　　圓的集合定義：

　　圓是平面內到定點的距離等于定長的`點的集合，其中定點是圓心，定長是半徑。

　　圓的字母表示：

　　以點O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作O”。

　　圓—⊙ ;

　　半徑—r或R(在環形圓中外環半徑表示的字母);

　　弧—⌒ ;

　　直徑—d ;

　　扇形弧長—L ;

　　周長—C ;

　　面積—S。

　　圓的性質:

　　(1)圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。

　　圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。

　　垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的2條弧。

　　逆定理：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的2條弧。

　　(2)有關圓周角和圓心角的性質和定理

　　① 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對應的其余各組量都分別相等。

　　②在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半(圓周角與圓心角在弦的同側)。

　　直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。

　　圓心角計算公式： θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。

　　即圓心角的度數等于它所對的弧的度數;圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半。

　　③ 如果一條弧的長是另一條弧的2倍，那么其所對的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。

　　(3)有關外接圓和內切圓的性質和定理

　　①一個三角形有唯一確定的外接圓和內切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點距離相等;

　　②內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。

　　③R=2S△÷L(R：內切圓半徑，S：三角形面積，L：三角形周長)。

　　④兩相切圓的連心線過切點。(連心線：兩個圓心相連的直線)

　　⑤圓O中的弦PQ的中點M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點。

　　(4)如果兩圓相交，那么連接兩圓圓心的線段(直線也可)垂直平分公共弦。

　　(5)弦切角的度數等于它所夾的弧的度數的一半。

　　(6)圓內角的度數等于這個角所對的弧的度數之和的一半。

　　(7)圓外角的度數等于這個角所截兩段弧的度數之差的一半。

　　(8)周長相等，圓面積比長方形、正方形、三角形的面積大。

　　點、線、圓與圓的位置關系：

　　點和圓位置關系

　　①P在圓O外，則 PO>r。

　　②P在圓O上，則 PO=r。

　　③P在圓O內，則 0≤PO

　　反過來也是如此。

　　直線和圓位置關系

　　①直線和圓無公共點，稱相離。 AB與圓O相離，d>r。

　　②直線和圓有兩個公共點，稱相交，這條直線叫做圓的割線。AB與⊙O相交，d

　　③直線和圓有且只有一公共點，稱相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。AB與⊙O相切，d=r。(d為圓心到直線的距離)

　　圓和圓位置關系

　　①無公共點，一圓在另一圓之外叫外離，在之內叫內含。

　　②有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內叫內切。

　　③有兩個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。

　　設兩圓的半徑分別為R和r，且R〉r，圓心距為P，則結論：外離P>R+r;外切P=R+r;內含P

　　內切P=R-r;相交R-r

　　中考數學圓知識點總結(二)

　　1.圓的周長C=2πr=或C=πd

　　2.圓的面積S=πr2

　　3.扇形弧長L=圓心角(弧度制)× r = n°πr/180°(n為圓心角)

　　4.扇形面積S=nπ r2/360=Lr/2(L為扇形的弧長)

　　5.圓的直徑 d=2r

　　6.圓錐側面積 S=πrl(l為母線長)

　　7.圓錐底面半徑 r=n°/360°L(L為母線長)(r為底面半徑)

　　圓的方程:

　　1、圓的標準方程：在平面直角坐標系中，以點O(a，b)為圓心，以r為半徑的圓的標準方程是

　　(x-a)2+(y-b)2=r2。

　　特別地，以原點為圓心，半徑為r(r>0)的圓的標準方程為x2+y2=r2。

　　2、圓的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可變形為(x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4.故有：

　　①當D2+E2-4F>0時，方程表示以(-D/2,-E/2)為圓心，以(√D2+E2-4F)/2為半徑的圓;

　　②當D2+E2-4F=0時，方程表示一個點(-D/2，-E/2);

　　③當D2+E2-4F<0時，方程不表示任何圖形。

　　3、圓的參數方程：以點O(a，b)為圓心，以r為半徑的圓的參數方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ為參數)

　　圓的端點式：若已知兩點A(a1,b1),B(a2,b2)，則以線段AB為直徑的圓的方程為 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0

　　圓的離心率e=0，在圓上任意一點的曲率半徑都是r。

　　經過圓x2+y2=r2上一點M(a0，b0)的切線方程為 a0·x+b0·y=r2

　　在圓(x2+y2=r2)外一點M(a0，b0)引該圓的兩條切線，且兩切點為A,B，則A,B兩點所在直線的方程也為 a0·x+b0·y=r2。

　　初中數學圓知識點總結(三)

　　一)教學知識點

　　了解不在同一條直線上的三個點確定一個圓，以及過不在同一條直線上的三個點作圓的方法，了解三角形的外接圓、三角形的外心等概念.

　　(二)能力訓練要求

　　1.經歷不在同一條直線上的三個點確定一個圓的探索過程，培養學生的探索能力.

　　2.通過探索不在同一條直線上的三個點確定一個圓的問題，進一步體會解決數學問題的策略.

　　(三)情感與價值觀要求

　　1.形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神.

　　2.學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果.

　　教學重點

　　1.經歷不在同一條直線上的三個點確定一個圓的探索過程，并能掌握這個結論.

　　2.掌握過不在同一條直線上的三個點作圓的方法.

　　3.了解三角形的外接圓、三角形的外心等概念.

　　教學難點

　　經歷不在同一條直線上的三個點確定一個圓的探索過程，并能過不在同一條直線上的三個點作圓.

　　教學方法

　　教師指導學生自主探索交流法.

　　教具準備

　　投影片三張

　　第一張：(記作§3.4A)

　　第二張：(記作§3.4B)

　　第三張：(記作 §3.4C)

　　教學過程

　　Ⅰ.創設問題情境，引入新課

　　[師]我們知道經過一點可以作無數條直線，經過兩點只能作一條直線.那么，經過一點能作幾個圓?經過兩點、三點……呢?本節課我們將進行有關探索.

　　Ⅱ.新課講解

　　1.回憶及思考

　　投影片(§3.4A)

　　1.線段垂直平分線的性質及作法.

　　2.作圓的關鍵是什么?

　　[生]1.線段垂直平分線的性質是：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等.

　　作法：如下圖，分別以A、B為圓心，以大于 AB長為半徑畫弧，在AB的兩側找出兩交點C、D，作直線CD，則直線CD就是線段A B的垂直平分線，直線CD上的任一點到A與B的距離相等.

　　[師]我們知道圓的定義是：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓.定點即為圓心，定長即為半徑.根據定義大家覺得作圓的'關鍵是什么?

　　[生]由定義可知，作圓的問題實質上就是圓心和半徑的問題.因此作圓的關鍵是確定圓心和半徑的大小.確定了圓心和半徑，圓就隨之確定.

　　2.做一做(投影片§3.4B)

　　(1)作圓，使它經過已知點A，你能作出幾個這樣的圓?

　　(2)作圓，使它經過已知點A、B.你是如何作的?你能作出幾個這樣的圓?其圓心的分布有什么特點?與線段AB有什么關系?為什么?

　　(3)作圓，使它經過已知點A、B、C(A、B、C三點不在同一條直線上).你是如何作的?你能作出幾個這樣的圓?

　　[師]根據剛才我們的分析已知，作圓的關鍵是確定圓心和半徑，下面請大家互相交換意見并作出解答.

　　[生](1)因為作圓實質上是確定圓心和半徑，要經過已知點A作圓，只要圓心確定下來，半徑就隨之確定了下來.所以以點A以外的任意一點為圓心，以這一點與點A所連的線段為半徑就可以作一個圓. 由于圓心是任意的.因此這樣的圓有無數個.如圖(1).

　　(2)已知點A、B都在圓上，它們到圓心的距離都等于半徑.因此圓心到A、B的距離相等.根據前面提到過的線段的垂直平分線的性質可知，線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，則圓心應在線段AB的垂直平分線上.在AB的垂直平分線上任意取一點，都能滿足到A、B兩點的距離相等，所以在AB的垂直平分線上任取一點都可以作為圓心，這點到A的距離即為半徑.圓就確定下來了.由于線段AB的垂直平分線上有無數點，因此有無數個圓心，作出的圓有無數個.如圖(2).

　　(3)要作一個圓經過A、B、C三點，就是要確定一個點作為圓心，使它到三點的距離相等.因為到A、B兩點距離相等的點的集合是線段AB的垂直平分線，到B、C兩點距離相等的點的集合是線段BC的垂直平分線，這兩條垂直平分線的交點滿足到A、B、C三點的距離相等，就是所作圓的圓心.

　　因為兩條直線的交點只有一個，所以只有一個圓心，即只能作出一個滿足條件的圓.

　　[師]大家的分析很有道理，究竟應該怎樣找圓心呢?

　　3.過不在同一條直線上的三點作圓.

　　投影片(§3.4C)

　　作法圖示

　　1.連結AB、BC

　　2.分別作AB、BC的垂直

　　平分線DE和FG，DE和

　　FG相交于點O

　　3.以O為圓心，OA為半徑作圓

　　⊙O就是所要求作的圓