九連環的解法
分析解九連環的完全記法，由于每次只動一個環，故兩步的表示也只有一個數字不同。下面以五個環為例分析。左邊起第一列的五位數是5個環的狀態，依次由第一環到第五環。第二列是把這個表示反轉次序的五位數，似乎是二進制數，但是與第四列比較就可以看出這不是步數的二進制數表示。
第三列是從初始狀態到這個狀態所用的步數。最右邊一列才是步數的二進制表示。
00000-00000-0-00000
10000-00001-1-00001
11000-00011-2-00010
01000-00010-3-00011
01100-00110-4-00100
11100-00111-5-00101
10100-00101-6-00110
00100-00100-7-00111
00110-01100-8-01000
10110-01101-9-01001
11110-01111-10-01010
01110-01110-11-01011
01010-01010-12-01100
11010-01011-13-01101
10010-01001-14-01110
00010-01000-15-01111
00011-11000-16-10000
10011-11001-17-10001
11011-11011-18-10010
01011-11010-19-10011
01111-11110-20-10100
11111-11111-21-10101
我們發現，右邊一列數恰好是十進制數0到21的二進制數的格雷碼! 這當然需要21步。如果把5位二進制數依次寫完，就是
10111-11101-22-10110
00111-11100-23-10111
00101-10100-24-11000
10101-10101-25-11001
11101-10111-26-11010
01101-10110-27-11011
01001-10010-28-11100
11001-10011-29-11101
10001-10001-30-11110
00001-10000-31-11111
這說明，對于只有5個環的五連環，從初始到狀態11111用的不是并不是最多，到狀態00001才是最多，用31步。類似，對于九連環，從初始到狀態111111111用的不是并不是最多，到狀態000000001才是最多，用511步。由于格雷碼111111111表示二進制數101010101，表示十進制數341，故從初始狀態到9個環全部上去用341步。這就是九連環中蘊涵的數學內涵。
注 由二進制數轉換為格雷碼：從右到左檢查，如果某一數字左邊是0，該數字不變;如果是1，該數字改變(0變為1，1變為0)。例，二進制數11011的格雷碼是10110.
由格雷碼表示變為二進制數：從右到左檢查，如果某一數字的左邊數字和是偶數，該數字不變;如果是奇數，該數字改變。
例 格雷碼11011表示為二進制數是10010.
以上可以用口訣幫助記憶：2G一改零不改，G2奇變偶不變。
例 設九連環的初始狀態是110100110，要求終止狀態是001001111，簡單解法與完整解法各需要多少步?過程如何?
解 初始狀態110100110，格雷碼是011001011，轉換為二進制數是010001101，相應十進制數是141.終止狀態是001001111，格雷碼是111100100，轉換為二進制數是101000111，相應十進制數是327.二者差326-141=186，完整解法需要186步。
簡單解法步數，我們由141，327分別求相應的簡單步數，
對于N=141，得到N0=103;對于N=327，N0=242.二者差139，故簡單步數139.這個結果很容易在下一頁九連環電腦游戲上驗證。
九連環的解法
首先，我們先統一定義幾個名詞，這樣在解環中便于交流溝通。左邊為左側，左手握，右邊為右側，右手自由操作！從左往右，我們依次給各個環編號為9、8、7、6、5、4、3、2、1。
九連環
串起來各個環的結構體我們稱為條形框。當條形框與九個環完全分離時，我們視為解環完成。
操作
其次，我們需要對操作步驟進行命名。
環取下來，即從條形框上解下來，操作方法唯一，這個操作過程我們描述為“第幾環右上左繞下”，如圖所示！
環安裝上，還原回去，即安放在條形框上，操作方法唯一，這個操作過程我們描述為“第幾環上進右繞下”。
解環
接下來，我們進入解九連環的具體操作，我用逐步法寫出來，便于大家重復學習練習：
第001步：第1環右上左繞下
形成假八連環。
定義：假八連環
第002步：第3環右上左繞下
第003步：第1環上進右繞下
第004步：第1、2環同時右上左繞下
形成假六連環。
定義：假六連環
第005步：第5環右上左繞下
第006步：第1、2環同時上進右繞下
第007步：第1環右上左繞下
第008步：第3環上進右繞下
第009步：第1環上進右繞下
第010步：第1、2環同時右上左繞下
第011步：第4環右上左繞下
第012步：第1和2環同時上進右繞下
第013步：第1環右上左繞下
第014步：第3環右上左繞下
第015步：第1環上進右繞下
第016步：第1、2環同時右上左繞下
形成假四連環。
定義：假四連環
第017步：第7環右上左繞下
第018步：第1、2環同時上進右繞下
第019步：第1環右上左繞下
第020步：第3環上進右繞下
第021步：第1環上進右繞下
第022步：第1、2環同時右上左繞下
第023步：第4環上進右繞下
第024步：第1、2環同時上進右繞下
第025步：第1環右上左繞下
第026步：第3環右上左繞下
第027步：第1環上進右繞下
第028步：第1、2環同時右上左繞下
第029步：第5環上進右繞下
第030步：第1、2環同時上進右繞下
第031步：第1環右上左繞下
第032步：第3環上進右繞下
第033步：第1環上進右繞下
形成九八空六連環。
定義：九八空六連環
第034步：第1、2環同時右上左繞下
第035步：第3環右上左繞下
第036步：第1、2環同時上進右繞下
第037步：第1環右上左繞下
第038步：第3環右上左繞下
第039步：第1環上進右繞下
第040步：第1、2環同時右上左繞下
第041步：第6環右上左繞下
形成九八空單個五環。
定義：九八空單個五環
第042步：第1、2環同時上進右繞下
第043步：第1環右上左繞下
第044步：第3環上進右繞下
第045步：第1環上進右繞下
第046步：第1、2環同時右上左繞下
第047步：第4環上進右繞下
第048步：第1、2同時環上進右繞下
形成九八空五連環。
定義：九八空五連環
第049步：第1環右上左繞下
第050步：第3環右上左繞下
第051步：第1環上進右繞下
第052步：第1、2環同時右上左繞下
第053步：第5環右上左繞下
形成九八空單個四環。
第054步：第1、2環同時上進右繞下
第055步：第1環右上左繞下
第056步：第3環上進右繞下
第057步：第1環上進右繞下
形成九八空四連環。
定義：九八空四連環
第058步：第1、2環同時右上左繞下
第059步：第4環右上左繞下
第060步：第1、2環同時上進右繞下
第061步：第1環右上左繞下
第062步：第3環右上左繞下
第063步：第1環上進右繞下
第064步：第1、2環同時右上左繞下
形成單九八環。
第065步：第9環右上左繞下
形成單八環。
解到這一步為止，我們才從九連環上成功解下第一個環。也就是說當我們編號的第九個環從橫框上解下來的時候，才是真正意義上的解下了一個環。
接下來的步驟就是先復原為八連環，再解下第二個環。以此類推，直到完成九個環都與橫框分離，則為最終解環完成。
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