勾股定理無字證明

時(shí)間：2023-04-29 20:37:41 證明范文

勾股定理無字證明

勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對(duì)它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國家總統(tǒng)。也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾?jiǎn)單，更容易吸引人，才使它成百次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。1940年出版過一本名為《畢達(dá)哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實(shí)際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。

勾股定理無字證明

在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡(jiǎn)潔，有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名。

首先介紹勾股定理的兩個(gè)最為精彩的證明，據(jù)說分別來源于中國和希臘

劉徽在證明勾股定理時(shí)，也是用的以形證數(shù)的方法，只是具體的分合移補(bǔ)略有不同.劉徽的證明原也有一幅圖，可惜圖已失傳，只留下一段文字：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類，因就其余不動(dòng)也，合成弦方之冪.開方除之，即弦也.”后人根據(jù)這段文字補(bǔ)了一張圖。大意是：三角形為直角三角形，以勾a為邊的正方形為朱方，以股b為邊的正方形為青方。以盈補(bǔ)虛，將朱方、青放并成弦方。依其面積關(guān)系有a^+b^=c^.由于朱方、青方各有一部分在弦方內(nèi)，那一部分就不動(dòng)了。以勾為邊的的正方形為朱方，以股為邊的正方形為青方。以贏補(bǔ)虛，只要把圖中朱方(a2)的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，則剛好拼好一個(gè)以弦為邊長(zhǎng)的正方形(c的平方 ).由此便可證得a的平方+b的平方=c的平方。這個(gè)證明是由三國時(shí)代魏國的數(shù)學(xué)家劉徽所提出的。在魏景元四年(即公元 263 年)，劉徽為古籍《九章算術(shù)》作注釋。在注釋中，他畫了一幅像圖五(b)中的圖形來證明勾股定理。由於他在圖中以「青出」、「朱出」表示黃、紫、綠三個(gè)部分，又以「青入」、「朱入」解釋如何將斜邊正方形的空白部分填滿，所以后世數(shù)學(xué)家都稱這圖為「青朱入出圖」。亦有人用「出入相補(bǔ)」這一詞來表示這個(gè)證明的原理。

這個(gè)定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數(shù)學(xué)眾多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的 Pythagorean Proposition一書中總共提到367種證明方式。

有人會(huì)嘗試以三角恒等式(例如：正弦和余弦函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù))來證明勾股定理，但是，因?yàn)樗械幕救呛愕仁蕉际墙ɑ诠垂啥ɡ恚圆荒茏鳛楣垂啥ɡ淼淖C明(參見循環(huán)論證)。

利用相似三角形的證法

利用相似三角形證明

有許多勾股定理的證明方式，都是基于相似三角形中兩邊長(zhǎng)的比例。

設(shè)ABC為一直角三角形, 直角于角C(看附圖). 從點(diǎn)C畫上三角形的高，并將此高與AB的交叉點(diǎn)稱之為H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因?yàn)樵趦蓚€(gè)三角形中都有一個(gè)直角(這又是由于“高”的定義)，而兩個(gè)三角形都有A這個(gè)共同角，由此可知第三只角都是相等的。同樣道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關(guān)系衍生出以下的比率關(guān)系：

因?yàn)锽C=a,AC=b,AB=c

所以a/c=HB/a and b/c=AH/b

可以寫成a*a=c*HB and b*b=C*AH

綜合這兩個(gè)方程式，我們得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c

換句話說:a*a+b*b=c*c

[*]----為乘號(hào)

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