高一數學期末考試題及答案(3)
∴學生注意力不低于55的持續時間為 ﹣ = <10.
∴老師能不能在學生一直達到所需注意力的狀態下講完這道題.
【點評】本題考查了分段函數的應用，分類討論思想.屬于基礎題.
21.設f(x)=mx2+(m+4)x+3.
(1)試確定m的值，使得f(x)有兩個零點，且f(x)的兩個零點的差的絕對值最小，并求出這個最小值;
(2)若m=﹣1時，在[0，λ](λ為正常數)上存在x使f(x)﹣a>0成立，求a的取值范圍.
【分析】(1)f(x)為二次函數，令△>0得出m的取值范圍，根據根與系數得關系用m表示兩根的絕對值，求出新函數的最小值即可.
(2)求出f(x)在[0，λ]上的最大值fmax(x)，則a
【解答】解：(1)∵f(x)有兩個零點，∴ ，解得m≠0.
設f(x)的兩個零點為x1，x2，則x1+x2=﹣ ，x1x2= .
∴|x1﹣x2|2=(x1+x2)2﹣4x1x2=( )2﹣ = ﹣ +1=16( ﹣ )2+ .
∴當m=8時，∴|x1﹣x2|2取得最小值 .∴|x1﹣x2|的最小值為 .
(2)當m=﹣1時，f(x)=﹣x2+3x+3，f(x)的對稱軸為x= .
①若0 ，則fmax(x)=f(λ)=﹣λ2+3λ+3，
②若 ，則fmax(x)=f( )= .
∵在[0，λ](λ為正常數)上存在x使f(x)﹣a>0成立，∴a
綜上，當0 時，a的取值范圍是(﹣∞，﹣λ2+3λ+3);
當 時，a的取值范圍是(﹣∞， ).
【點評】本題考查了二次函數的零點個數與系數的關系，二次函數的單調性與最值，屬于中檔題.
22.定義在D上的函數f(x)，如果滿足：對任意x∈D，存在常數M，都有f(x)≥M成立，則稱f(x)是D上的有下界函數，其中M稱為函數f(x)的一個下界.已知函數f(x)= (a>0).
(1)若函數f(x)為偶函數，求a的值;
(2)求函數f(x)在[lna，+∞)上所有下界構成的集合.
【分析】(1)根據函數奇偶性的定義求出a的值即可;
(2)通過定義證明函數f(x)在區間[lna，+∞)上是增函數，求出函數的最小值，從而求出滿足條件的集合即可.
【解答】解：(1)函數f(x)= (a>0)是R上的偶函數，f(﹣x)=f(x)，
即 (ex﹣e﹣x)=a( ﹣ )=a(ex﹣e﹣x)在R恒成立，
∴ =a，解得：a=1，(a>0)，
(2)在[lna，+∞)上任取x1，x2，且x1
f(x1)﹣f(x2)= ( ﹣ )﹣a =( ﹣ ) ，
∵y=ex是增函數，lna≤x1
∴ ﹣ <0，∴x1+x2>2lna=lna2，
∴ > =a2，∴ ﹣a2>0，
∵a >0，
∴f(x1)﹣f(x2)<0，即f(x1)
∴函數f(x)在[lna，+∞)上是增函數，
∴f(x)min=f(lna)= + =2，
∴函數f(x)在[lna，+∞)上所有下界構成的集合是(﹣∞，2].
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