選修2-22.1.1第1課時歸納推理
選修2-22.1.1第1課時歸納推理
一、選擇題
1．關于歸納推理，下列說法正確的是()
A．歸納推理是一般到一般的推理
B．歸納推理是一般到個別的推理
C．歸納推理的結論一定是正確的
D．歸納推理的結論是或然性的
[答案] D
[解析] 歸納推理是由特殊到一般的推理，其結論的正確性不一定．故應選D.
2．下列推理是歸納推理的是()
A．A，B為定點，動點P滿足|PA|＋|PB|＝2a|AB|，得P的軌跡為橢圓
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式
C．由圓x2＋y2＝r2的面積r2，猜出橢圓x2a2＋y2b2＝1的面積S＝ab
D．科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇
[答案] B
[解析] 由歸納推理的定義知B是歸納推理，故應選B.
3．數(shù)列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于()
A．28
B．32
C．33
D．27
[答案] B
[解析] 因為5－2＝31,11－5＝6＝32,20－11＝9＝33，猜測x－20＝34,47－x＝35，推知x＝32.故應選B.
4．在數(shù)列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，則猜想an是()
A．2n－2－12
B．2n－2
C．2n－1＋1
D．2n＋1－4
[答案] B
[解析] ∵a1＝0＝21－2，
a2＝2a1＋2＝2＝22－2，
a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，
a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，
……
猜想an＝2n－2.
故應選B.
5．某人為了觀看2012年奧運會，從2005年起，每年5月10日到銀行存入a元定期儲蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期存款均自動轉為新的一年定期，到2012年將所有的存款及利息全部取回，則可取回的錢的總數(shù)(元)為()
A．a(chǎn)(1＋p)7
B．a(chǎn)(1＋p)8
C.ap[(1＋p)7－(1＋p)]
D.ap[(1＋p)8－(1＋p)]
[答案] D
[解析] 到2006年5月10日存款及利息為a(1＋p)．
到2007年5月10日存款及利息為
a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)2＋(1＋p)]
到2008年5月10日存款及利息為
a[(1＋p)2＋(1＋p)](1＋p)＋a(1＋p)
＝a[(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)]
……
所以到2012年5月10日存款及利息為
a[(1＋p)7＋(1＋p)6＋…＋(1＋p)]
＝a(1＋p)[1－(1＋p)7]1－(1＋p)
＝ap[(1＋p)8－(1＋p)]．
故應選D.
6．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2an(n2)，而a1＝1，通過計算a2，a3，a4，猜想an等于()
A.2(n＋1)2
B.2n(n＋1)
C.22n－1
D.22n－1
[答案] B
[解析] 因為Sn＝n2an，a1＝1，
所以S2＝4a2＝a1＋a2a2＝13＝232，
S3＝9a3＝a1＋a2＋a3a3＝a1＋a28＝16＝243，
S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4
a4＝a1＋a2＋a315＝110＝254.
所以猜想an＝2n(n＋1)，故應選B.
7．n個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列下表：
根據(jù)規(guī)律，從2010到2012箭頭的方向依次為()
A．
B．
C．
D．
[答案] C
[解析] 觀察特例的規(guī)律知：位置相同的數(shù)字都是以4為公差的等差數(shù)列，由234可知從2010到2012為，故應選C.
8．(2010山東文，10)觀察(x2)＝2x，(x4)＝4x3，(cosx)＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函數(shù)，則g(－x)＝()
A．f(x)
B．－f(x)
C．g(x)
D．－g(x)
[答案] D
[解析] 本題考查了推理證明及函數(shù)的奇偶性內容，由例子可看出偶函數(shù)求導后都變成了奇函數(shù)，
g(－x)＝－g(x)，選D，體現(xiàn)了對學生觀察能力，概括歸納推理的能力的考查．
9．根據(jù)給出的數(shù)塔猜測1234569＋7等于()
19＋2＝11
129＋3＝111
1239＋4＝1111
12349＋5＝11111
123459＋6＝111111
…
A．1111110
B．1111111
C．1111112
D．1111113
[答案] B
[解析] 根據(jù)規(guī)律應為7個1，故應選B.
10．把1、3、6、10、15、21、…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點子可以排成一個正三角形(如下圖)，
試求第七個三角形數(shù)是()
A．27
B．28
C．29
D．30
[答案] B
[解析] 觀察歸納可知第n個三角形數(shù)共有點數(shù)：1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n＋1)2個，第七個三角形數(shù)為7(7＋1)2＝28.
二、填空題
11．觀察下列由火柴桿拼成的一列圖形中，第n個圖形由n個正方形組成：
通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：第4個圖形中，火柴桿有________根；第n個圖形中，火柴桿有________根．
[答案] 13,3n＋1
[解析] 第一個圖形有4根，第2個圖形有7根，第3個圖形有10根，第4個圖形有13根……猜想第n個圖形有3n＋1根．
12．從1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一般規(guī)律是__________________．
[答案] n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
[解析] 第1式有1個數(shù)，第2式有3個數(shù)相加，第3式有5個數(shù)相加，故猜想第n個式子有2n－1個數(shù)相加，且第n個式子的第一個加數(shù)為n，每數(shù)增加1，共有2n－1個數(shù)相加，故第n個式子為：
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋{n＋[(2n－1)－1]}
＝(2n－1)2，
即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
13．觀察下圖中各正方形圖案，每條邊上有n(n2)個圓圈，每個圖案中圓圈的總數(shù)是S，按此規(guī)律推出S與n的關系式為________．
[答案] S＝4(n－1)(n2)
[解析] 每條邊上有2個圓圈時共有S＝4個；每條邊上有3個圓圈時，共有S＝8個；每條邊上有4個圓圈時，共有S＝12個．可見每條邊上增加一個點，則S增加4，S與n的關系為S＝4(n－1)(n2)．
14．(2009浙江理，15)觀察下列等式：
C15＋C55＝23－2，
C19＋C59＋C99＝27＋23，
C113＋C513＋C913＋C1313＝211－25，
C117＋C517＋C917＋C1317＋C1717＝215＋27，
……
由以上等式推測到一個一般的結論：
對于nN*，C14n＋1＋C54n＋1＋C94n＋1＋…＋C4n＋14n＋1＝__________________.
[答案] 24n－1＋(－1)n22n－1
[解析] 本小題主要考查歸納推理的能力
等式右端第一項指數(shù)3,7,11,15，…構成的數(shù)列通項公式為an＝4n－1，第二項指數(shù)1,3,5,7，…的通項公式bn＝2n－1，兩項中間等號正、負相間出現(xiàn)，右端＝24n－1＋(－1)n22n－1.
三、解答題
15．在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C成立，
在四邊形ABCD中，不等式1A＋1B＋1C＋1D成立，
在五邊形ABCDE中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E成立，猜想在n邊形A1A2…An中，有怎樣的不等式成立？
[解析] 根據(jù)已知特殊的數(shù)值：9、162、253，…，總結歸納出一般性的規(guī)律：n2(n－2)3)．
在n邊形A1A2…An中：1A1＋1A2＋…＋1Ann2(n－2)3)．
16．下圖中(1)、(2)、(3)、(4)為四個平面圖．數(shù)一數(shù)每個平面圖各有多少個頂點？多少條邊？它們圍成了多少個區(qū)域？并將結果填入下表中．
平面區(qū)域 頂點數(shù) 邊數(shù) 區(qū)域數(shù)
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)觀察上表，推斷一個平面圖形的頂點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關系？
(2)現(xiàn)已知某個平面圖有999個頂點，且圍成了999個區(qū)域，試根據(jù)以上關系確定這個平面圖有多少條邊？
[解析] 各平面圖形的頂點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)如下表：
平面區(qū)域 頂點數(shù) 邊數(shù) 區(qū)域數(shù) 關系
(1) 3 3 2 3＋2－3＝2
(2) 8 12 6 8＋6－12＝2
(3) 6 9 5 6＋5－9＝2
(4) 10 15 7 10＋7－15＝2
結論 V E F V＋F－E＝2
推廣 999 E 999 E＝999＋999－2
＝1996
其頂點數(shù)V，邊數(shù)E，平面區(qū)域數(shù)F滿足關系式V＋F－E＝2.
故可猜想此平面圖可能有1996條邊．
17．在一容器內裝有濃度為r%的溶液a升，注入濃度為p%的溶液14a升，攪勻后再倒出溶液14a升，這叫一次操作，設第n次操作后容器內溶液的濃度為bn(每次注入的溶液濃度都是p%)，計算b1、b2、b3，并歸納出bn的計算公式．
[解析] b1＝ar100＋a4p100a＋a4＝110045r＋15p，
b2＝ab1＋a4p100a＋a4＝1100452r＋15p＋452p.
b3＝ab2＋a4p100a＋a4
＝1100453r＋15p＋452p＋4253P，
歸納得bn＝110045nr＋15p＋452p＋…＋4n－15nP.
18．設f(n)＝n2＋n＋41，nN＋，計算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同時作出歸納推理，并用n＝40驗證猜想是否正確．
[解析] f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，
f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，
f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，
f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，
f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.
由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都為質數(shù)．
即：當n取任何非負整數(shù)時f(n)＝n2＋n＋41的值為質數(shù)．
但是當n＝40時，f(40)＝402＋40＋41＝1681為合數(shù)．
所以，上面由歸納推理得到的猜想不正確．
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